Criba de Eratóstenes

Eratóstenes nació en Cyrene (ahora Libia), en el norte de Africa. Vivió entre los años 275 y 195 antes de Cristo. Por varias décadas, fue el director de la famosa Biblioteca de Alejandría. Fue una de las personas más reconocidas de la época, pero lamentablemente sólo pocos fragmentos de lo que escribió sobrevivieron en el tiempo.

Eratóstenes se hizo famoso por dos cosas que hizo:

–por la medición increíblemente precisa que hizo del diámetro de la Tierra, y

–por haber fabricado una criba, o un filtro, para descubrir todos los números primos.

Vamos a ver qué es esto de los números primos!!!

Un número primo es aquel número que sólo es divisible por sí mismo y por uno (y explícitamente se excluye al número 1 de la definición). Por ejemplo, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23… son números primos. Ningún número par, salvo el 2, puede ser primo (porque todos son también divisibles por 2).

Se sabe que hay infinitos números primos (el primero en comprobarlo fue Euclides), pero lo maravilloso que hizo Eratóstenes fue construir un mecanismo que permite encontrarlos a todos (los primos).

Para eso, tuvo el ingenio de hacer lo siguiente... (Podemos imprimir la siguiente tabla y hacerlo...)

Eratóstenes, entonces, empezó a recorrer la lista. Tachó al número 1, porque él sabía que no era primo. Entonces, el primer número con el que se encontró, fue con el 2. Lo que hizo entonces, fue dejar el 2 (que aquí aparece destacado) pero tachó todos los múltiplos de 2. Y le quedó una lista como ésta:

Una vez que tachó todos los múltiplos de 2, siguió con la lista y fue a buscar el primer número que no estaba tachado, en este caso el número 3. Lo dejó como estaba (sin tachar) pero eliminó a todos los múltiplos de 3. (O sea, tachó uno cada tres números.) Le quedó una tabla así:

Y siguió: no necesitó tachar el 4, porque ya estaba tachado, pero siguió hasta el primer número que no lo estaba, y se encontró con el 5. Lo que hizo entonces fue tachar todos los múltiplos de 5. (Claro, ya había habido algunos que había tachado antes, pero siguió con los que estaban libres.) De esta forma, quedaron eliminados todos los múltiplos de 5. Y la tabla quedó así:

Y luego, siguió con el 7, y tachó todos los múltiplos de 7. Y luego, siguió hasta el primer número no tachado, y encontró el 11. Y luego, tachó todos los múltiplos de 11. Y siguió hasta encontrar, luego, al primer número no tachado. Y se encontró con el 13. Y luego, tachó todos los múltiplos de 13 y siguió con este mecanismo. Finalmente, los números que no quedaban tachados en ningún paso, es porque no eran múltiplos de ningún número anterior. Con ésos se quedaba Eratóstenes. En realidad, lo que estaba haciendo era construir una suerte de “filtro” por el cual, al hacer pasar a todos los números, sólo quedaban los “primos”.

Y la lista quedaba (al menos, en los primeros 100 lugares) así:

Es decir, si paráramos acá, habríamos descubierto (con el método de Eratóstenes) que todos los números primos que hay entre los primeros cien números, son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 91 y 97.